基础解系的求法举例

基础解系的求法及其举例

基础解系是指在无耗散的情况下，工程结构的自由振动方式。它是振动总解的基础，也是研究工程振动问题的重要方法之一。下面我们来详细讲解一下基础解系的求法。

1. 求解基础解系的步骤

求解基础解系的步骤可以简单概括为以下三步：

建立结构的运动方程；

应用边界条件，得到特征方程；

求解特征方程的根，即可得到基础解系。

2. 一个简单的举例

下面我们以一个简单的桥梁模型为例介绍基础解系的求解方法。

如图所示，这是一个简单的单跨梁桥结构。

假设该桥梁的质量可以忽略不计，它只受到两个支座的约束。那么我们可以建立该结构的运动方程：

$$\frac{d^2y}{dx^2}+\lambda y=0$$

其中 $y$ 表示梁的弯曲位移，参数 $\lambda$ 是模态参数。

然后我们需要应用边界条件。在该结构中，两个支座的位移是固定的，也就是说位移边界条件为：

$$y(0)=y(L)=0$$

将位移边界条件代入运动方程并求解得到特征方程：

$$\cos(\sqrt{\lambda}L)=\cos(\sqrt{\lambda}0)=0$$

从特征方程中可以得到基础解系，即：

$$y_n(x)=\sin\big(\frac{n\pi}{L} x\big)$$

其中 $n=1,2,3,\dots$，每一项都是该结构的一个自由振动模态。

3. 相关问题解答

如何判断结构是否有多个振动模态？

当特征方程有多个解时，结构就存在多个振动模态。

基础解系的应用有哪些？

基础解系可以用来求解结构在自由振动状态下的响应。同时，它也是模态分析和有限元分析等方法的基础。

如何对基础解系进行归一化？

对于一组基础解系 $\{\phi_1(x),\phi_2(x),\dots,\phi_n(x)\}$，我们可以利用正交性原理对其进行归一化：

$$\int_{0}^{L}\phi_m\phi_n dx=\delta_{mn}$$

其中 $\delta_{mn}$ 为克罗内克 δ 函数。经过归一化后，基础解系满足：

$$\int_{0}^{L}\phi_n^2 dx=1$$

总结

基础解系是工程结构振动研究中的重要方法之一。我们可以通过建立结构的运动方程，应用边界条件，求解特征方程来得到基础解系。基础解系可以用来求解结构的自由振动，同时也是模态分析和有限元分析等方法的基础。在求解基础解系过程中，对基础解系进行归一化有助于简化计算。