基础解系的求法举例

基础解系的求法举例

在工程设计过程中，常常需要求解某个结构的基础解系。基础解系是指在结构未受外力作用时的自由振动解或稳态解。本文将举例讲解基础解系的求法。

假设有一个简支梁，其振动方程可以表示为：

$EI\frac{\partial^4v}{\partial x^4}+L^2m\frac{\partial^2v}{\partial t^2}=0$

其中，$EI$是梁的弯曲刚度，$L$是梁的长度，$m$是单位长度上的质量。

根据悬链线理论，可以得到简支梁的振动方程的基础解系为：

$\hat{v_n}(x) = c_1\sin\frac{n\pi x}{L}+c_2\cos\frac{n\pi x}{L}+c_3\sinh\frac{n\pi x}{L}+c_4\cosh\frac{n\pi x}{L}$

$\hat{\omega_n} = \frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{EI}{m}}$

其中，$n=1,2,3,...$，$c_1, c_2, c_3, c_4$是待定系数，可以根据边界条件和初始条件求解。

举个例子，假设该简支梁的两个端点受到固定支撑，即边界条件为：

$v(0,t)=v(L,t)=0$

$\frac{\partial v}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial v}{\partial x}(L,t)=0$

初始条件为梁在$t=0$时的挠度为$v(x,0)=\sin\frac{2\pi x}{L}$，速度为$0$。

将上述边界条件和初始条件代入基础解系中，可以得到：

$v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{EI}{m}}t)$

将初始条件代入，可以得到：

$c_n=\frac{2}{L}\int_0^L \sin\frac{n\pi x}{L}sin\frac{2\pi x}{L} dx$

化简后可得：

$c_n=\frac{2L}{n\pi}(-1)^{n+1}$

因此，该简支梁的振动解为：

$v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4L}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\frac{n\pi}{L}\sqrt{\frac{EI}{m}}t)$

相关问题解答

1. 什么是基础解系?

基础解系是指在结构未受外力作用时的自由振动解或稳态解。在结构分析中，可以将结构的振动或动态响应表示为基础解系的线性组合。

2. 如何求解基础解系?

求解基础解系的一般步骤是，先假设解的形式，并将其代入结构的振动方程中。然后，将解的形式中的常数系数带入边界条件和初始条件中，求解常数值。最后，将求得的常数值代入解的形式中，得到基础解系。

3. 基础解系只适用于简单的结构吗?

不是。基础解系的求解方法可以应用于各种结构的振动分析和动态响应分析，如梁、板、壳等结构。