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汤家凤基础1800题

工程设计网 2024-01-21 基础设计 0

汤家凤基础1800题的讲解汤家凤基础1800题是一本数学题型集合，包括了初中、高中数学的基础题型，以及部分竞赛数学的常规题型。这本题集对于帮助学生夯实数学基础，提高解题能力非常有用。以下为对该题集中几

汤家凤基础1800题的讲解

汤家凤基础1800题是一本数学题型集合，包括了初中、高中数学的基础题型，以及部分竞赛数学的常规题型。

这本题集对于帮助学生夯实数学基础，提高解题能力非常有用。以下为对该题集中几个经典的题目进行讲解。

题目一

若$a+b=2$，$a-b=3$，求$a^2-b^2$。

解题思路：直接利用公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a+b$和$a-b$的值进行计算得到答案为$-5$。

题目二

若$x+y=3$，$xy=4$，求$x^3+y^3$。

解题思路：有公式$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$，将$x+y$代入得到$x^2-xy+y^2=-\frac{7}{3}$，最终计算得到$x^3+y^3=13$。

题目三

下列哪个数是最小的：$4\sqrt{2}+3\sqrt{3}$，$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$？

解题思路：首先看到这道题目，我们可以联想到“三角不等式”，因为三个数都是根式相加，所以我们可以先将这个式子进行化简，得到：$\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\sqrt{2} < 4\sqrt{2}+3\sqrt{3}$，所以答案应该是$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$。

题目四

若$a+b+c=0$，则$\frac{a^2+b^2}{c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{c^2+a^2}{b^2}$的值为多少？

解题思路：将$\frac{a^2+b^2}{c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{c^2+a^2}{b^2}$展开，得到$\frac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2}{a^2b^2c^2}$。由于$a+b+c=0$，所以$b=-a-c$，代入后化简得到$\frac{3a^2c^2}{a^2b^2c^2}=3$。

题目五

已知$\triangle ABC$的三边分别为$a,b,c$，若$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，则$\triangle ABC$的形状为什么？

解题思路：首先将$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$化简得到$b=2a$或$b=2c$。若$b=2a$，则$\angle B$为锐角，$\triangle ABC$为等腰直角三角形；若$b=2c$，则$\angle A$为锐角，$\triangle ABC$为锐角等边三角形。同时需要注意排除$b=c$的情况，因为这种情况下无法成立题目中的条件。